截断正态分布

要理解截断正态分布(truncated normal distribution)，需要先理解截断分布(truncated distribution)。所谓截断分布就是对原本分布中随机变量进行前后截断取值，在随机变量取值被改变的情况下，概率分布需要根据阶段的概率分布重新归一化到$[0,1]$。假设$X$的概率密度函数为$f(x)$，累计概率分布为$F(x)$，如果随机变量$X$的取值截断为$[a,b]$，那么，截断后的概率密度函数应该为 $$ g(x;a,b) = \frac{f(x)}{F(b)-F(a)} $$ 接下来，截断正态分布就很好理解了，假设$X\sim N(\mu, \delta)$，则$X$的概率密度函数为$\frac{1}{\delta}\phi(x)$，累计概率分布函数为$\Phi(x)$，那么，$X$截断为$[a,b]$的概率密度分布函数为 $$ g(x;\mu,\delta,a,b) = \frac{\frac{1}{\delta}\phi(\frac{x-\mu}{\delta })}{\Phi(\frac{b-\mu}{\delta})-\Phi(\frac{a-\mu}{\delta})} $$ 其中，$\phi(x)$，$\Phi(x)$分别为标准正态分布的概率密度函数和累积概率函数 $$ \phi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2} $$

$$ \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{-t^2}{2}}dt $$